Question

如圖，等腰△ABC和等邊△ADE的頂點(diǎn)A、D、B在同一條直線上，AC=BC=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=120°，△MNF與△ADE完全重合，將△MNF從△ADE處沿AB方向以

3

個單位每秒的速度平移，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0），當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動．
（1）在整個平移過程中，求出NF、MF分別過點(diǎn)C時t的值；
（2）在整個平移過程中，△MNF與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)停止運(yùn)動時，將△MNF繞點(diǎn)N沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，0°＜α＜180°．在旋轉(zhuǎn)過程中，MN與AC、AE交于點(diǎn)G、點(diǎn)H．以點(diǎn)A、G、H為頂點(diǎn)的三角形能否是等腰三角形，若是，請求出AG的長，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，以AB為x軸，以A為垂足，垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，
（1）直線AE的方程為y=

3

x，直線ED的方程為y=-

3

x+18，NF、MF可看成平移得到，代入求t；
（2）寫出S=

1 2 ×(6 3 + 3 t)2×sin30°×cos30°- 1 2 ×( 3 t)2sin120°，0＜t≤2 1 2 ×122×sin120°- 1 2 •( 3 t)2•sin120°- 1 2 ×(6 3 - 3 t)2sin120°，2＜t≤4 1 2 (12 3 - 3 t)2sin30°cos30°- 1 2 (6 3 - 3 t)2sin120°，4＜t≤6 1 2 ×(12 3 - 3 t)2sin30°cos30°，6＜t≤12

并化簡；
（3）作圖象輔助，分α=45°，90°，135°進(jìn)行討論即可．

解答： 解：如圖：以AB為x軸，以A為垂足，垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則由題意可得A（0，0），B（2×12×cos30°，0），D（12×cos30°，0），
C（12×cos30°，12sin30°），E（

1

2

×12×cos30°，12×cos30°×sin60°）
即A（0，0），B（12

3

，0），D（6

3

，0），C（6

3

，6），E（3

3

，9）；
（1）則直線AE的方程為y=

3

x，直線ED的方程為y=-

3

x+18，
則NF、MF的方程分別為y=-

3

（x-

3

t）+18，y=

3

（x-

3

t），
將C（6

3

，6）代入可得，
6=-

3

（6

3

-

3

t）+18，6=

3

（6

3

-

3

t），
解得，t=2，t=4；
故NF、MF分別過點(diǎn)C時t的值為2，4；
（2）由題意，S=

1 2 ×(6 3 + 3 t)2×sin30°×cos30°- 1 2 ×( 3 t)2sin120°，0＜t≤2 1 2 ×122×sin120°- 1 2 •( 3 t)2•sin120°- 1 2 ×(6 3 - 3 t)2sin120°，2＜t≤4 1 2 (12 3 - 3 t)2sin30°cos30°- 1 2 (6 3 - 3 t)2sin120°，4＜t≤6 1 2 ×(12 3 - 3 t)2sin30°cos30°，6＜t≤12

，
即S=

-3 3 t2+36 3 t+108 3 8 ，0＜t≤2 - 3 3 2 t2+9 3 t+9 3 ，2＜t≤4 3 3 8 (-t2+72)，4＜t≤6 3 3 8 (12-t)2，6＜t≤12

；
（3）作圖如下，

①當(dāng)α=45°時，AH=AG，
由正弦定理可得，

AH

sin45°

=

AN

sin75°

；
故AG=AH=AN•

sin45°

sin75°

=18

3

•（

3

-1）
=54-18

3

；
②當(dāng)α=90°時，AG=GH，
AG=18

3

÷

3

2

=36；
③當(dāng)α=135°時，AH=AG，
由正弦定理可得，

AG

sin135°

=

AN

sin15°

；
故AG=AN•

sin135°

sin15°

=18

3

•（

3

+1）
=54+18

3

．

點(diǎn)評：本題化簡非常困難，討論也很困難，屬于難題．