Question

20．已知圓C的圓心在直線x-2y=0上．
（1）若圓C與y軸的正半軸相切，且該圓截x軸所得弦的長為2$\sqrt{3}$，求圓C的標準方程；
（2）在（1）的條件下，直線l：y=-2x+b與圓C交于兩點A，B，若以AB為直徑的圓過坐標原點O，求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （1）設圓心為（2a，a），通過圓C與y軸的正半軸相切，得到半徑r=2a．利用該圓截x軸所得弦的長為2$\sqrt{3}$，列出方程求解即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理以及判別式，結合直線的斜率關系，即可求出b的值．

解答 解：（1）因為圓C的圓心在直線x-2y=0上，所以可設圓心為（2a，a）．
因為圓C與y軸的正半軸相切，所以a＞0，半徑r=2a．
又因為該圓截x軸所得弦的長為2$\sqrt{3}$，
所以a²+（$\sqrt{3}$）²=（2a）²，解得a=1．…（2分）
因此，圓心為（2，1），半徑r=2．
所以圓C的標準方程為（x-2）²+（y-1）²=4．…（4分）
（2）由直線l：y=-2x+b與圓C，消去y，得（x-2）²+（-2x+b-1）²=4．
整理得5x²-4bx+（b-1）²=0．（★）…（5分）
由△=（-4b）²-4×5（b-1）²＞0，得b²-10b+5＜0（※）…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4b}{5}$，x₁x₂=$\frac{（b-1）^{2}}{5}$    （7分）
因為以AB為直徑的圓過原點O，可知x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-2x₁+b）（-2x₂+b）=0．
化簡得5x₁x₂-2b（x₁+x₂）+b²=0，即（b-1）²-2b•$\frac{4b}{5}$+b²=0．
整理得2b²-10b+5=0．解得b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$．…（9分）
當b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$時，2b²-10b+5=0，b²-10b+5=-b²．③
由③，得b≠0　從而b²-10b+5=-b²＜0
可見，b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$時滿足不等式（※）．b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$均符合要求．…（10分）

點評 本題考查圓的方程的綜合應用，圓的方程的求法，直線與圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力．