Question

17．已知函數(shù)f（x）=|ax-1|-（a-1）x．
（i） 當a=2時，滿足不等式f（x）＞0的x的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）；
（ii） 若函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點，則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 （i）化為分段函數(shù)，再解不等式即可，
（ii）①）當a≥1②當0＜a＜1③當a≤0三種情況，畫出f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象，利用圖象確定有無交點．

解答 解：（i）當a=2時，f（x）=|2x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≥\frac{1}{2}}\\{1-3x，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-3x＞0}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
故不等式f（x）＞0的x的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
（ii）函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點，
 ①當a≥1時，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

兩函數(shù)的圖象恒有交點，
②當0＜a＜1時，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

要使兩個圖象無交點，斜率滿足：a-1≥-a，
∴a≥$\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{2}$≤a＜1
③當a≤0時，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

兩函數(shù)的圖象恒有交點，
綜上①②③知：$\frac{1}{2}$≤a＜1
故答案為：.$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$，$[\frac{1}{2}，1）$

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的運用，如果函數(shù)的圖象能畫出，結(jié)合圖象解題形象而直觀，屬于中檔題．