17.已知函數(shù)f(x)=|ax-1|-(a-1)x.
(i) 當a=2時,滿足不等式f(x)>0的x的取值范圍為(-∞,$\frac{1}{3}$)∪(1,+∞);
(ii) 若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點,則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$,1].

分析 (i)化為分段函數(shù),再解不等式即可,
(ii)①)當a≥1②當0<a<1③當a≤0三種情況,畫出f(x)=|ax-1|與g(x)=(a-1)x的圖象,利用圖象確定有無交點.

解答 解:(i)當a=2時,f(x)=|2x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{x-1,x≥\frac{1}{2}}\\{1-3x,x<\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
∵f(x)>0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1>0}\\{x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-3x>0}\\{x<\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
解得x>1或x<$\frac{1}{3}$,
故不等式f(x)>0的x的取值范圍為(-∞,$\frac{1}{3}$)∪(1,+∞)
(ii)函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點,
 ①當a≥1時,f(x)=|ax-1|與g(x)=(a-1)x的圖象:

兩函數(shù)的圖象恒有交點,
②當0<a<1時,f(x)=|ax-1|與g(x)=(a-1)x的圖象:

要使兩個圖象無交點,斜率滿足:a-1≥-a,
∴a≥$\frac{1}{2}$,故$\frac{1}{2}$≤a<1
③當a≤0時,f(x)=|ax-1|與g(x)=(a-1)x的圖象:

兩函數(shù)的圖象恒有交點,
綜上①②③知:$\frac{1}{2}$≤a<1
故答案為:.$(-∞,\frac{1}{3})∪(1,+∞)$,$[\frac{1}{2},1)$

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的運用,如果函數(shù)的圖象能畫出,結(jié)合圖象解題形象而直觀,屬于中檔題.

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