Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是⊙O上一點(diǎn)且∠CAB＝60°，PA＝a，AB＝2a，求：

(1)三棱錐P－ABC的側(cè)面積；

(2)三棱錐B－OPC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥CA．∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥BC∴BC⊥PAC 　　∴BC⊥PC，即△PBC是直角三角形．在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝2a， 　　∴AC＝a，BC＝．在Rt△APC中，AC＝a，PA＝a， 　　∴PC＝． 　　∴S△APC＝，S△BPC＝，S△APB＝a2． 　　∴三棱錐P－ABC的側(cè)面積為． 　　(2)由題意，知△OBC與△OAC面積相等， 　　∴R△OBC＝． 　　∴VB－POC＝VP－OBC＝S△OBC·PA＝． 　　思路分析：充分利用此題中圓的特殊性，找到相關(guān)線線位置關(guān)系，既而找線面關(guān)系，特別是垂直關(guān)系．

提示：

求錐體或柱體的側(cè)面積時(shí)，如果是正棱錐或正棱柱則可以考慮使用公式，對(duì)于非特殊的錐體或柱體，則通常需要逐個(gè)計(jì)算，然后相加．另外，由于四面體共有四個(gè)頂點(diǎn)，而頂點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的底面具有相對(duì)性，故在求錐體的體積時(shí)，應(yīng)注意使用等積變換，如本題中，將B－POC的體積等價(jià)轉(zhuǎn)化為P－OBC的體積．