Question

設(shè)a、b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，
（1）若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．
（2）若8a+kb與ka+2b共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）設(shè)=ma，=nb，=α a+β b，其中m、n、α、β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M、P、N三點(diǎn)共線(xiàn)，
求證：+=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證三點(diǎn)共線(xiàn)，先構(gòu)造以這三點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，讓所給的三個(gè)向量?jī)蓛上鄿p，得到關(guān)于A、B、C的向量，加以驗(yàn)證即可．
（2）兩個(gè)向量共線(xiàn)，則其中一個(gè)可以寫(xiě)成另一個(gè)的實(shí)數(shù)倍，根據(jù)系數(shù)相等，構(gòu)成方程，解方程即可．
（3）這一問(wèn)恰好和第一問(wèn)相反，但是解題的原理是一樣的，從三點(diǎn)共線(xiàn)入手，得到系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)α、β和其他幾個(gè)量之間的關(guān)系，得到結(jié)論．
解答：解：（1）證明：∵=（3a+b）-（2a-b）=a+2b，
而=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2，
∴與共線(xiàn)，且有公共端點(diǎn)B，
∴A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．
（2）∵8a+kb與ka+2b共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得（8a+kb）=λ（ka+2b）⇒（8-λk）a+（k-2λ）b=0，
∵a與b不共線(xiàn)，∴k=2λ=±4．
（3）證明：∵M(jìn)、P、N三點(diǎn)共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得，
∴=a+b．
∵a、b不共線(xiàn)，∴
∴+=+=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是向量共線(xiàn)和向量用基底表示，用一組向量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題．