Question

已知一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是

2

、

3

、

6

，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為

6

；它的外接圓的體積為

6

π

．

Answer 1

分析：由題意設(shè)三個(gè)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，則有ab=

2?

，bc=

3?

，ca=

6?

，由此求出a，b，c的值，由公式求出對(duì)角線的長(zhǎng)，再利用對(duì)角線長(zhǎng)即為它的外接球的直徑求出半徑后得到體積即可．

解答：解：可設(shè)長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，
列出方程組

ab= 2 bc= 3 ac= 6

，
解得

a= 2 b=1 c= 3

故長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是

1+2+3

=

6

∵對(duì)角線長(zhǎng)即為它的外接球的直徑求出半徑，
∴它的外接球的半徑為

6

2

，
它的外接球的體積為V=

4

3

π×R³=

4

3

×π×(

6

2

)3=

6

π．
故答案為

6

；

6

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查根據(jù)題目中所給的條件求出三個(gè)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度，再由球體的體積公式求出體積的能力，本題直接利用公式建立方程求解，題目較易．