Question

16．設(shè)$f（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），則a₂₀₁₇=（　　）

• A． $\frac{1}{{\sqrt{2016}}}$
• B． $\frac{1}{{\sqrt{2017}}}$
• C． $\frac{1}{{\sqrt{2018}}}$
• D． $\frac{1}{{\sqrt{2019}}}$

Answer 1

分析 $f（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），可得a₁=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{a}_{n}^{2}}}$，因此$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$+1，即$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵$f（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），
∴a₁=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{a}_{n}^{2}}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$+1，即$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=2+（n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{2017}^{2}}$=2018，
a₂₀₁₇=$\frac{1}{\sqrt{2018}}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、函數(shù)解析式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．