Question

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（Ⅰ）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）注意把握題目中的信息，f（x）和g（x）在同一點(diǎn)處具有相同的切線斜率．即f′（x）=g′（x）
（2）由構(gòu)造的新函數(shù)F（x）在R上有極值點(diǎn)，得到二次函數(shù)F′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，再將上題的結(jié)論代入可解．
解答：解：（Ⅰ）依題意，令f'（x）=g'（x），得2x+b=1，
故．由于，得（b+1）²=4c．
∵，∴．
（Ⅱ）F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc．
F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F'（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0．
則△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c）．
若△=0，則F'（x）=0有一個(gè)實(shí)根x，且F'（x）的變化如下：

于是x=x不是函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)．若△＞0，
則F′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的變化如下：

由此，x=x₁是函數(shù)F（x）的極大值點(diǎn)，x=x₂是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)△=0時(shí)，函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）上有極值點(diǎn)．
．
∵，∴．
解之得0＜c＜7-4或c＞7+4．
故所求c的取值范圍是（0，7-4）∪（7+4，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)、切線、極值等知識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．其中三次多項(xiàng)式函數(shù)也是高考中對(duì)導(dǎo)數(shù)考查的常見載體．