Question

已知函數(shù)f(x)＝－x³＋3x²＋9x＋a.

(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

思路　本題考查多項式的導數(shù)公式及運用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)的最值，題目中需注意應先比較f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪個是最大值從而求出a.

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝－3x²＋6x＋9.

令f′(x)<0，解得x<－1或x>3.

∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)>f(－2)．

∵在(－1,3)上f′(x)>0，

∴f(x)在(－1,2]上單調遞增．

又由于f(x)在[－2，－1)上單調遞減，

∴f(－1)是f(x)的極小值，且f(－1)＝a－5.

∴f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.

∴f(x)＝－x³＋3x²＋9x－2.

∴f(－1)＝a－5＝－7，

即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最小值為－7.