Question

已知P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若S_△IPF1=S_△IPF2+

2

2

S△_IF1F2成立，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、4
• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示，利用平面幾何的知識利用三角形面積公式，代入已知式S_△IPF1=S_△IPF2+

2

2

S△_IF1F2，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=

2

2

|F₁F₂|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．

解答： 解：如圖，設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、
PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，
它們分別是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF₁=

1

2

|PF₁|•|IF|=

1

2

|PF₁|，
S△IPF₂=

1

2

|PF₂|•|IG|=

1

2

|PF₂|，
S△IF₁F₂=

1

2

|F₁F₂|•|IE|=

1

2

|F₁F₂|，
其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵S_△IPF2=S_△IPF1-

2

2

S_△IF1F2，
∴

r

2

|PF₂|=

r

2

|PF₁|-

2

2

|F₁F₂|，
兩邊約去

r

2

得：|PF₂|=|PF₁|-

2

2

|F₁F₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=

2

2

|F₁F₂|
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴2a=

2

c⇒離心率為e=

c

a

=

2

．
故選B．

點評：本題將三角形的內(nèi)切圓放入到雙曲線當(dāng)中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．