Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_l=2，a_n+l=2a_n²，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{1+log₂a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）兩邊取以2為底的對數(shù)，得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，由此能證明{1+log₂a_n}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）

1

1+log2an

=

1

2n

，設(shè)M=

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，利用錯位相減法能證明

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

＜2．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a_n+l=2a_n²，n∈N^*，
∴兩邊取以2為底的對數(shù)，
得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，
則log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1），
∴{1+log₂a_n}為等比數(shù)列．（6分）
（Ⅱ）∵log₂a_n+1=（log₂a₁+1）×2^n-1=2ⁿ，
∴

1

1+log2an

=

1

2n

，
設(shè)M=：

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，
則

1

2

M=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

，
兩式相減得

1

2

M=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1，
則M＜2，
∴

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

＜2．（13分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．