Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+a，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f′（-1）=0，確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）導(dǎo)函數(shù)圖象開口向上，且恒過點(diǎn)（0，-1），根據(jù)f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是遞增的，可得a的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-1，∴f′（-1）=3+2a-1=0 
∴a=-1，∴f（x）=x³+x²-x-1
∴f′（x）=3x²+2x-1
由f′（x）=0 可得 x=

1

3

或x=-1
又∵f(

1

3

)=-

32

27

，f(-2)=-3，f(3)=32，f(-1)=0 
∴f（x）在[-2，3]上的最小值為-3，最大值為32；
（2）f′（x）=3x²-2ax-1，圖象開口向上，且恒過點(diǎn)（0，-1）
由條件f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是遞增的，可得：f^′（-2）≥0，∴11+4a≥0，∴a≥-

11

4

 
f′（3）≥0，∴26-6a≥0，∴a≤

13

3

 
∴a的取值范圍是[-

11

4

，

13

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值與單調(diào)性，考查解不等式，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．