Question

數列{a_n}中，a_n>0，a_n≠1，且(n∈N*).
(1)證明：a_n≠a_n+1；
(2)若，計算a₂，a₃，a₄的值，并求出數列{a_n}的通項公式.

Answer 1

（1）祥見解析；（2）

解析試題分析：（1）利用反證法，若a_n+1=a_n，即，解得 a_n=0或1，結論與題干條件矛盾;（2）法一：根據，，求出，，，，觀察各項分子通項為3^n-1，分母通項為3^n-1+1，于是可以寫出通項公式a_n，進而可用數學歸納法加以證明．法二：由(n∈N*)，取倒數得，從而可轉化為：這樣就可選求出等比數列是以為首項，為公比，從而可寫出其通項公式，進而就可求出數列{a_n}的通項公式．
試題解析：(1)證明：(反證法)若a_n=a_n+1，則由(n∈N*)，得，
得a_n=1，這與已知a_n≠1相悖，故a_n≠a_n+1.                   4分
(2)方法一：(舉例-猜想-證明)
若，由(n∈N*)得，，
，，猜想：(n∈N*)，           8分
以下用數學歸納法證明：
①當n=1時，，所以當n=1時命題成立；      9分
②假設當n=k時，命題成立，即，
則當n=k+1時，，          12分
所以，當n=k+1時，命題也成立，故(n∈N*)，  13分
由①、②可知，對所有的自然數n，都有(n∈N*). 14分
(說明：其它方法請相應給分)
方法二：(利用數列遞推關系求通項公式)
由(n∈N*)，取倒數得，
又，令2+3t=t，解得t=－1，
∴，
∴是以為首項，為公比的等比數列，
∴，∴，∴.
考點：１．反正法；２．數列遞推式；３．數學歸納法．