Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為2，E是棱A₁B₁的中點．
（1）求異面直線A₁B₁與BD的距離；
（2）求直線EC₁與BD所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，
∴B₁B⊥平面ABCD
∴B₁B⊥BD
又B₁B⊥A₁B₁，
∴線段B₁B的長即為所求．
∵B₁B=2，
∴異面直線A₁B₁與BD的距離為2．
（2）取A₁D₁中點H
∴EH∥B₁D₁
∴EH∥BD
∴EC₁與BD所成角為∠HEC₁（或其補角）
設正方體棱長為2，則HE=，EC₁=，HC₁=
∴cos∠HEC₁===＞0
∴EC₁與BD所成角為arccos
分析：（1）根據條件可得BB₁⊥面ABCD，BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁故可得B₁B⊥BD且B₁B⊥A₁B₁，則根據異面直線間的距離的定義可知線段B₁B的長即為所求．
（2）根據異面直線所成的角的定義可知需將異面直線轉化為相交直線故可取A₁D₁中點H連接EH，HC₁則可得EC₁與BD所成角為∠HEC₁（或其補角）然后在三角形EHC₁中利用余弦定理即可求解．
點評：本題主要考察了異面直線間的距離和異面直線所成的角．解題的關鍵是要充分理解異面直線間的距離和異面直線所成的角的定義，同時再利用余弦定理求角時要根據角的余弦值的正負決定異面直線所成的角是這個角還是其補角！