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已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,離心率e=,右準線方程為x=2.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點,且,求直線l的方程式.
【答案】分析:(Ⅰ)根據橢圓離心率為,右準線方程為x=2,建立方程,利用b2=a2-c2,即可求得橢圓的標準方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),先判斷直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x+1),與橢圓方程聯(lián)立,消元表示出x1+x2,y1+y2=k(x1+x2+2),用坐標表示出向量,利用,即可求得直線l的方程.
解答:解:(Ⅰ)由題意,∵橢圓離心率為,右準線方程為x=2.
,
∴a=,c=1
∴b2=a2-c2=1
∴橢圓的標準方程為;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)
若直線l的斜率不存在時,則直線l的方程為x=-1,將x=-1代入橢圓方程可得y=
不妨設M(-1,),N(-1,),∴
,與題設矛盾,∴直線l的斜率存在.
設直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+1)
設M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立,消元可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=,∴y1+y2=k(x1+x2+2)=

=+==


∴40k4-23k2-17=0
∴k2=1(負值舍去)
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1.
點評:本題考查橢圓的性質與標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查向量知識的運用,解題的關鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理求解.
練習冊系列答案
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已知橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為
1
2
且經過點P(1,
3
2
)
.M為橢圓上的動點,以M為圓心,MF2為半徑作圓M.
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(2)若圓M與y軸有兩個交點,求點M橫坐標的取值范圍;
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(II)過點的直線與該橢圓交于M、N兩點,且,求直線的方程.

 

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