Question

國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

空氣質(zhì)量指數(shù)	0-50	51-100	101-150	151-200	201-300	300以上
空氣質(zhì)量等級(jí)	1級(jí)優(yōu)	2級(jí)良	3級(jí)輕度污染	4級(jí)中度污染	5級(jí)重度污染	6級(jí)嚴(yán)重污染

由全國(guó)重點(diǎn)城市環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)獲得2月份某五天甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖：
（Ⅰ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷甲、乙兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)果）；
（Ⅱ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率．
（注：s²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²]，其中為數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)．）

Answer 1

解：（Ⅰ）甲城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差大于乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差．…（3分）
（Ⅱ）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的頻率為，
則估計(jì)甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的概率為．…（6分），
（Ⅲ）設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級(jí)相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，分別記為：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）．
其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的包括同為1級(jí)優(yōu)的為甲29，乙41，乙43，同為2級(jí)良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．
則空氣質(zhì)量等級(jí)相同的為：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78），
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）．共11個(gè)結(jié)果．
則P（A）=．
所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率為．…（13分）
分析：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)的離散程度可以看出哪個(gè)方差較大；
（Ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（Ⅲ）設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級(jí)相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的包括同為1級(jí)優(yōu)的為甲29，乙41，乙43，同為2級(jí)良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．從而得出空氣質(zhì)量等級(jí)相同的共11個(gè)結(jié)果．最后根據(jù)概率公式即可求出這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率．
點(diǎn)評(píng)：本題是直接考查莖葉圖、列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式、平均數(shù)和方差的計(jì)算公式及其意義是解題的關(guān)鍵．