Question

已知{a_n}，是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞30n+400？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

（n為正整數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、一元二次不等式的解法即可得出；
（3）利用遞推的意義可得：b_n=2ⁿ⁺¹（n≥2）．可得bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

，即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a₃+a₆=a₂+a₇=16，
由

a3+a6=16 a3•a6=55

，解得：

a3=5 a6=11

或

a3=11 a6=5

，
∵d＞0，
∴

a3=5 a6=11

，
∴d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）當(dāng)a_n=2n-1時(shí)，Sn=

n[1+(2n-1)]

2

=n2．
令n²＞30n+400，即n²-30n-400＞0，
解得n＞40或n＜-10（舍去），
此時(shí)存在正整數(shù)n，使得S_n＞30n+400成立，n的最小值為41．
（3）∵a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=

b1

2

+

b2

2

+…+

bn-1

2n-1

，
∴an-an-1=

bn

2n

(n≥2)，
∴

bn

2n

=2（n≥2），
∴b_n=2ⁿ⁺¹（n≥2）．
∴bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

，
∴Tn=2+23+24+…+2n+1=2+

8(1-2n-1)

1-2

=2n+2-6，
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴T_n=2ⁿ⁺²-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、一元二次不等式的解法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．