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16.設(shè)橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)B,F(xiàn)2關(guān)于F1對(duì)稱,拋物線y2=4x的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)F1交AB于P,且BF1AB=PF1AF2
(1)求橢圓E的方程;
(2)已知定點(diǎn)Q(t,0)(t>0),若斜率為1的直線1過(guò)點(diǎn)Q與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)C,D,且對(duì)橢圓E上任意一點(diǎn)N,都存在θ∈[0,2π],使得ON=cosθOC+sinθOD成立,求滿足條件的實(shí)數(shù)t的值.

分析 (1)求得拋物線的準(zhǔn)線方程,可得c=1,再由對(duì)稱可得B(-3,0),再由直線AB的方程,令x=-1,可得P的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)的距離公式可得b=3,a=2,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),N(x0,y0).可得3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,直線l的方程為:y=x-t,與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用△>0,由ON=cosθOC+sinθOD成立,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及相等、根與系數(shù)的關(guān)系可得:x0=x1cosθ+x2sinθ,y0=y1cosθ+y2sinθ.代入橢圓方程可得:3x1x2+4y1y2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入解出即可.

解答 解:(1)由拋物線y2=4x的準(zhǔn)線:x=-1經(jīng)過(guò)F1,
可得c=1,
由點(diǎn)B,F(xiàn)2(1,0)關(guān)于F1(-1,0)對(duì)稱,可得B(-3,0),
由A(0,b),可得直線AB:y=3x+b,
令x=-1,可得y=2b3,即P(-1,2b3),
BF1AB=PF1AF2,可得29+2=2b31+2,
解得b=3,a=2,
即有橢圓的方程為x24+y23=1;
(2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),N(x0,y0).
則3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,
由直線l的方程為:y=x-t,
與橢圓方程聯(lián)立可得{y=xt3x2+4y2=12,
化為7x2-8tx+4t2-12=0.
△=64t2-28(4t2-12)>0,
解得-7<t<7,
∴x1+x2=8t7,x1x2=4t2127
ON=cosθ•OC+sinθ•OD,
∴(x0,y0)=(x1cosθ+x2sinθ,y1cosθ+y2sinθ),
∴x0=x1cosθ+x2sinθ,y0=y1cosθ+y2sinθ.
∵對(duì)于任意θ∈[0,2π)總有點(diǎn)N在橢圓E上,
代入橢圓方程可得:3(x1cosθ+x2sinθ)2+4(y1cosθ+y2sinθ)2=12,
化為(3x12+4y12)cos2θ+(3x22+4y22)sin2θ+(6x1x2+8y1y2)cosθsinθ=12,
即為12(cos2θ+sin2θ)+(6x1x2+8y1y2)cosθsinθ=12,
∴3x1x2+4y1y2=0,
∴3x1x2+4(x1-t)(x2-t)=0,
化為7x1x2-4t(x1+x2)+4t2=0.
∴7•4t2127-4t•8t7+4t2=0,
化為t2=72,(t>0).
解得t=142
滿足△>0.
∴滿足條件的實(shí)數(shù)t=142

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、兩點(diǎn)的距離公式、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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