Question

【題目】定義運算“”：對于任意，（等式的右邊是通常的加減乘運算）．若數(shù)列的前n項和為，且對任意都成立．

（1）求的值，并推導出用表示的解析式；

（2）若，令，證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，令，數(shù)列滿足，求正實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）直接利用信息的應用和賦值法的應用求出函數(shù)的關系式的表達式；

（2）利用構(gòu)造法對和數(shù)列的關系式進行變換，進一步利用定義求出數(shù)列的通項公式；
（3）利用（1）和（2）的結(jié)論，進一步函數(shù)的單調(diào)性和極限的應用求出參數(shù)的取值范圍．

（1）∵，
．
令，得，
．
當時，有．
，

．
（2），
，整理得．
．
∴數(shù)列是以首項為1、公差為的等差數(shù)列．
（3）結(jié)合（1），且，
，即．
．
當時，，此時，，總是滿足；
當時，，此時，是等比數(shù)列．
．
．

若時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且時，，不滿足．
若時，， 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故又，同樣恒有成立；
若時，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，．
由，即此時當時，滿足．
綜上，所求實數(shù)的取值范圍是.