P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點，|F1F2|=2c，過P作直線l：x=-
a2
c
的垂線，垂足為Q，若PQF1F2是平行四邊形，則橢圓的離心率取值范圍是_
1
2
＜e＜1
1
2
＜e＜1
．
分析：根據(jù)題意得，若PQF1F2是平行四邊形，如圖，由圖可知，橢圓上存在一點，使得它到左準線的距離小于焦距即可，而橢圓上的點到左準線的距離的最小值為左頂點到左準線的距離，從而建立關(guān)于e的不等關(guān)系，求解即得橢圓的離心率取值范圍．
解答：解：若PQF1F2是平行四邊形，如圖，
由圖可知，橢圓上存在一點，使得它到左準線的距離小于焦距即可，
而橢圓上的點到左準線的距離的最小值為左頂點到左準線的距離，即a-
a2
c
，
∴a-
a2
c
＜2c，
即：2c2+ac-a2＞0，
從而2e2+e-1＞0⇒e＞
1
2

又橢圓的離心率e＜1，
則橢圓的離心率取值范圍是
1
2
＜e＜1．
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設(shè)點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個交點，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P(-1，
2
2
)在橢圓上，線段PF2與y軸的交點M滿足
PM
=
MF2
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過F2作不與x軸重合的直線l，l與圓x2+y2=a2+b2相交于A、B并與橢圓相交于C、D，當
F1A
•
F1B
=λ，且λ∈[
2
3
，1]時，求△F1CD的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) P（x，y），Q（x′，y′） 是橢圓 
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的兩點，則下列四個結(jié)論：①a2+b2≥（x+y）2；②
1
x2
+
1
y2
≥(
1
a
+
1
b
)2；③
a2
x2
+
b2
y2
≥4；④
xx′
a2
+
yy′
b2
≤1．其中正確的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）設(shè)F是橢圓的一個焦點，M橢圓上的任意一點，|MF|的最大值與最小值的算術(shù)平均等于4，橢圓的頂點A與N（-2，0）關(guān)于直線x+y=0對稱，求此橢圓方程；
（2）設(shè)點P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上異于長軸端點的任意一點，F(xiàn)1、F2為兩焦點，記∠F1PF2=θ，求證|PF1|•|PF2|=
2b2
1+cosθ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•靜安區(qū)一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點為F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2與b2的等差中項，其中a、b、c都是正數(shù)，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P是橢圓上一動點，定點A1（0，2），求△F1PA1面積的最大值；
（3）已知定點E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點．證明：對任意的t＞0，都存在實數(shù)k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

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同步練習(xí)冊答案