Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g(x)=f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x，x∈R，a＞0．
（1）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

成立．

Answer 1

分析：（1）由定義法判斷函數(shù)g(x)=f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x即可，易證；
（2）求出g(x)=f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)參數(shù)a的取值范圍分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，求出其單調(diào)區(qū)間；
（3）代入解析式，將不等式f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

轉(zhuǎn)化為1＜

e x1-x2 2 -e x2-x1 2

x1-x2

＜

e x1-x2 2 +e x2-x1 2

2

根據(jù)其形式發(fā)現(xiàn)可以令x=

x1-x2

2

＞0進(jìn)一步將1＜

e x1-x2 2 -e x2-x1 2

x1-x2

＜

e x1-x2 2 +e x2-x1 2

2

成立的問題轉(zhuǎn)化為1＜

ex-e-x

2x

＜

ex+e-x

2

成立的問題，故可構(gòu)造函數(shù)對(duì)兩個(gè)不等式分步證明，下借助函數(shù)的單調(diào)性證明即可

解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镽，
且g(-x)=f(-x)-f(x)+(a+

1

a

)x=-[f(x)-f(-x)-(a+

1

a

)x]=-g(x)
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)．（2分）
（2）g′(x)=ex+e-x-(a+

1

a

)=e-x[e2x-(a+

1

a

)ex+1]=e-x(ex-a)(ex-

1

a

)（3分）
當(dāng)a=1時(shí)，g'（x）=e^-x（e^x-1）²≥0且當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立等號(hào)，故g（x）在R上遞增；（4分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜

1

a

，令g'（x）＞0得ex＞

1

a

或e^x＜a，
故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，lna）或（-lna，+∞）；（5分）
當(dāng)a＞1時(shí)，a＞

1

a

，令g'（x）＞0得e^x＞a或ex＜

1

a

，
故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-lna）或（lna，+∞）．（6分）
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

?e

x1+x2

2

＜

ex1-ex2

x1-x2

＜

ex1+ex2

2

，?1＜

e x1-x2 2 -e x2-x1 2

x1-x2

＜

e x1-x2 2 +e x2-x1 2

2

（7分）
令x=

x1-x2

2

＞0，則只需證1＜

ex-e-x

2x

＜

ex+e-x

2

（8分）
先證1＜

ex-e-x

2x

，由（2）知g（x）=e^x-e^-x-2x在R上遞增，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0
∴e^x-e^-x＞2x，從而由x＞0知1＜

ex-e-x

2x

成立；（10分）
再證

ex-e-x

2x

＜

ex+e-x

2

，即證：

ex-e-x

ex+e-x

＜x，
令h(x)=

ex-e-x

ex+e-x

-x，則h(x)=

e2x-1

e2x+1

-x=1-

2

e2x+1

-x是減函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＜h（0）=0，從而

ex-e-x

ex+e-x

＜x成立．（13分）
綜上，對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜

f(x1)+f(x2)

2

成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了用函數(shù)的奇偶性定義證明函數(shù)的奇偶性以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)證明不等式，本題綜合性很強(qiáng)，對(duì)做題都觀察轉(zhuǎn)化的能力要求較高，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這一部分的難題．