Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，且f（a）=f（b），對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|
（1）設(shè)S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，當(dāng)且僅當(dāng)x=a，y=b時(shí)，S取得最小值，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，證明：對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜

5

6

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式,不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，利用柯西不等式求解S的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=a，y=b時(shí)，S取得最小值，直接求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，不妨設(shè)x₂＞x₁，通過|x1-x2|與

5

6

的大小分類討論，證明|f（x₁）-f（x₂）|＜

5

6

成立．

解答： “數(shù)學(xué)史與不等式選講”模塊（10分）
（1）解：由柯西不等式得（2²+1²+1²）[（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²]≥（2x+2y-6+1-x+6-2y-x）²
=1當(dāng)且僅當(dāng)

x+y-3

2

=

1-x

1

=

6-2y-x

1

時(shí)取等號(hào)，
即x=

5

6

，y=

5

2

，S取得最小值

1

6

，故a=

5

6

，b=

5

2

．…（5分）
（2）證明：不妨設(shè)x₂＞x₁，
當(dāng)|x1-x2|≤

5

6

時(shí)，顯然有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|≤

5

6

…（7分）
當(dāng)|x1-x2|＞

5

6

時(shí)，因?yàn)閒(a)=f(b)
故|f（x₁）-f（x₂）|=||（x₁）-f（a）+f（b）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（a）|+|f（x₂）-f（b）|＜|x₁-a|+|x₂-b|=x₁-a-x₂+b=

5

2

-

5

6

-(x2-x1)＜

5

3

-

5

6

=

5

6

．
故對(duì)任意x1，x2∈[a，b]，有|f(x1)-f(x2)|＜

5

6

成立  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，柯西不等式的幾何意義，考查邏輯推理能力以及分類討論思想的應(yīng)用．