設關于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=數(shù)學公式對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論．

解：（1）∵f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2，
∴f（1）=1•22=4，
f（2）=1•22+2•32=22，
f（3）1•22+2•32+3•42=70；
（2）假設存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=對一切自然數(shù)n都成立，
則f（1）=（a+b+c）=4，
∴a+b+c=24①，
同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
由f（3）=70得9a+3b+c=70③
聯(lián)立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
∴f（n）=（3n2+11n+10）．
證明：1°當n=1時，顯然成立；
2°假設n=k時，f（k）=（3k2+11k+10）=，
則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]2
=+（k+1）[（k+1）+1]2
=（3k2+17k+24）
=
=，
即n=k+1時，結論也成立．
綜合1°，2°知，存在常數(shù)a=3，b=11，c=10使得f（n）=（3n2+11n+10）對一切自然數(shù)n都成立．
分析：（1）由f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2即可求得f（1），f（2），f（3）；
（2）假設存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=對一切自然數(shù)n都成立，由f（1），f（2），f（3）的值可求得a，b，c；再用數(shù)學歸納法證明即可．
點評：本題考查數(shù)學歸納法，求得a，b，c的值是關鍵，考查分析、運算及推理證明的能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…+(-1)n
xn
n
，n∈N*．
（Ⅰ）試確定f3（x）和f4（x）的單調區(qū)間及相應區(qū)間上的單調性；
（Ⅱ）說明方程f4（x）=0是否有解，并且對正整數(shù)n，給出關于x的方程fn（x）=0的解的一個一般結論，并加以證明．

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設關于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=
n(n+1)12
(an2+bn+c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論．

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.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(1) 試證函數(shù)的圖象關于點對稱;(2) 若數(shù)列的通項公式為, 求數(shù)列的前m項和(3) 設數(shù)列滿足: , . 設.

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.

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