【答案】
分析:(1)第一小問較簡單,只要求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)即可解決;
(2)先觀察條件可得直線m恒過點(diǎn)(0,9),再利用待定系數(shù)法求出切線的方程即可;
(3)對(duì)于題目中:“f(x)≤kx+9≤g(x)成立”不等式問題,通過分離參數(shù),轉(zhuǎn)化成恒成立問題解決.
解答:解:(1)f′(x)=3ax
2+6x-6a,
因?yàn)閒′(-1)=0所以a=-2.2;
(2)因?yàn)橹本€m恒過點(diǎn)(0,9).
先求直線m是y=f(x)的切線.
設(shè)切點(diǎn)為(x
,3x
2+6x
+12),
∵g′(x
)=6x
+6.
∴切線方程為y-(3x
2+6x
+12)=(6x
+6)(x-x
),
將點(diǎn)(0,9)代入得x
=±1.
當(dāng)x
=-1時(shí),切線方程為y=9,
當(dāng)x
=1時(shí),切線方程為y=12x+9.
由f′(x)=0得-6x
2+6x+12=0,即有x=-1,x=2
當(dāng)x=-1時(shí),y=f(x)的切線y=-18,當(dāng)x=2時(shí),
y=f(x)的切線方程為y=9∴y=9是公切線,
又由f′(x)=12得-6x
2+6x+12=12
∴x=0或x=1,當(dāng)x=0時(shí)y=f(x)的切線為y=12x-11,
當(dāng)x=1時(shí)y=f(x)的切線為y=12x-10,
∴y=12x+9,不是公切線,
綜上所述k=0時(shí)y=9是兩曲線的公切線;(7分)
(3).(1)kx+9≤g(x)得kx≤3x
2+6x+3,
當(dāng)x=0,不等式恒成立,k∈R.
當(dāng)-2≤x<0時(shí),不等式為
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,
而
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≤-3•2+6=0∴k≥0
當(dāng)x>0時(shí),不等式為
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,
∵
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∴k≤12∴當(dāng)x≥-2時(shí),
kx+9≤g(x)恒成立,則0≤k≤12;(10分)
(2)由f(x)≤kx+9得kx+9≥-2x
3+3x
2+12x-11
當(dāng)x=0時(shí),9≥-11恒成立,k∈R,
當(dāng)-2≤x<0時(shí)有
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設(shè)
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=
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,
當(dāng)-2≤x<0時(shí)
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為增函數(shù),
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也為增函數(shù)∴h(x)≥h(-2)=8
∴要使f(x)≤kx+9在-2≤x<0上恒成立,則k≤8(12分)
由上述過程只要考慮0≤k≤8,
則當(dāng)x>0時(shí)f′(x)=-6x
2+16x+12=-6(x+1)(x-2)
∴在x∈(0,2]時(shí)f′(x)>0,在(2,+∞)時(shí)
∴f(x)在x=2時(shí)有極大值即f(x)在(0,+∞)上的最大值,
又f(2)=9,即f(x)≤9而當(dāng)x>0,k≥0時(shí),
∴f(x)≤kx+9一定成立,綜上所述0≤k≤8.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分析和解決問題的能力,同時(shí)還考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力,綜合性特別強(qiáng),對(duì)學(xué)生能力要求高,有壓軸題分量.