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5.已知橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點分別為A、B,F(xiàn)為橢圓C的右焦點,圓x2+y2=4上有一動點P,P不同于A,B兩點,直線PA與橢圓C交于點Q,則kPBkQF的取值范圍是(-∞,0)∪(0,1).

分析 橢圓C:x24+y23=1焦點在x軸上,由P在圓x2+y2=4上,則PA⊥PB,則kAP•kPB=-1,可得kPB=-1kAPkPBkQF=1kAPkQF=-1kAPkQF,設(shè)Q(2cosθ,3sinθ),則kAP•kQF=3sinθ2cosθ+23sinθ2cosθ1=31cos2θ4cos2θ+2cosθ2,設(shè)t=cosθ,t∈(-1,1),則f(t)=31t24t2+2t2,進而得出.

解答 解:橢圓C:x24+y23=1焦點在x軸上,a=2,b=3,c=1,右焦點F(1,0),
由P在圓x2+y2=4上,則PA⊥PB,
則kAP•kPB=-1,則kPB=-1kAP,
kPBkQF=1kAPkQF=-1kAPkQF,
設(shè)Q(2cosθ,3sinθ),則kAP•kQF=3sinθ2cosθ+23sinθ2cosθ1
=3sin2θ4cos2θ+2cosθ2,
=31cos2θ4cos2θ+2cosθ2,
設(shè)t=cosθ,t∈(-1,1),
則f(t)=31t24t2+2t2,
kPBkQF=4t2+2t23t21=43+231t1∈(-∞,1),且不等于0.
故答案為:(-∞,0)∪(0,1).

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、換元方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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