Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁＝2，a_n+1＝λa_n＋λⁿ⁺¹＋(2－λ)2ⁿ(n∈N^*)，其中λ＞0．

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；

(Ⅲ)證明存在k∈N^*，使得對(duì)任意n∈N^*均成立．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法一：， 　　， 　　． 　　由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 　　以下用數(shù)學(xué)歸納法證明． 　　(1)當(dāng)時(shí)，，等式成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即， 　　那么 　　． 　　這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何都成立． 　　解法二：由，， 　　可得， 　　所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 　　(Ⅱ)解：設(shè)，① 　　② 　　當(dāng)時(shí)，①式減去②式， 　　得， 　　． 　　這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和． 　　當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和． 　　(Ⅲ)證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明： 　　．③ 　　由知，要使③式成立，只要， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0655/0021/a15ee3fd7ab71c1963bba9e0bd6d39fd/C/Image258.gif" width=265 height=25> 　　 　　． 　　所以③式成立． 　　因此，存在，使得對(duì)任意均成立．