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4.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為( 。
A.1B.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

分析 先設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長a2,焦距2c.因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題,所以需要找a1,a2,c之間的關系,而根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中根據余弦定理可得到:$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4,利用基本不等式可得結論.

解答 解:如圖,設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長為a2,則根據橢圓及雙曲線的定義:
|PF1|+|PF2|=2a1
|PF1|-|PF2|=2a2,
∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2
設|F1F2|=2c,∠F1PF2=$\frac{π}{3}$,則:
在△PF1F2中由余弦定理得,
4c2=(a1+a22+(a1-a22-2(a1+a2)(a1-a2)cos$\frac{π}{3}$
∴化簡可變成:$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4,
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4≥$\frac{2\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$
∴e1e2≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故選B.

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征,考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長,解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形,求出焦點三角形的邊長來.

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