Question

4．已知F₁，F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 先設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長a₂，焦距2c．因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找a₁，a₂，c之間的關系，而根據橢圓及雙曲線的定義可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根據余弦定理可得到：$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，利用基本不等式可得結論．

解答 解：如圖，設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，則根據橢圓及雙曲線的定義：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，
|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
設|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{3}$
∴化簡可變成：$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4≥$\frac{2\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$
∴e₁e₂≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選B．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來．