A. | 1 | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$ |
分析 先設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長a2,焦距2c.因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題,所以需要找a1,a2,c之間的關系,而根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中根據余弦定理可得到:$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4,利用基本不等式可得結論.
解答 解:如圖,設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長為a2,則根據橢圓及雙曲線的定義:
|PF1|+|PF2|=2a1,
|PF1|-|PF2|=2a2,
∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,
設|F1F2|=2c,∠F1PF2=$\frac{π}{3}$,則:
在△PF1F2中由余弦定理得,
4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos$\frac{π}{3}$
∴化簡可變成:$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4,
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4≥$\frac{2\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$
∴e1e2≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故選B.
點評 本題考查圓錐曲線的共同特征,考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長,解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形,求出焦點三角形的邊長來.
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | -3 | B. | 1 | C. | -3或1 | D. | 3或1 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 2 | C. | $-\frac{1}{2}$ | D. | -2 |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 若α,β垂直于同一平面,則α與β平行 | |
B. | 若m,n平行于同一平面,則m與n平行 | |
C. | 若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 | |
D. | 若α,β不平行,則在α內不存在與β平行的直線 |
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