Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且滿足Sn=

1

2

n2+

3

2

n(n≥1，n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和，求使不等式Tn＞

1005

2012

成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出n的最小值．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n2+

3

2

n）-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1，…（6分）
∵a₁=2，∴an=n+1(n∈N*)．…（7分）
（2）

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（9分）
∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+••+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

…（11分）
又Tn＞

1005

2012

，得

n

2(n+2)

＞

1005

2012

∴n＞2010…（13分）
∴n的最小值為2011…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的靈活運(yùn)用和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．