Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形為菱形，點(diǎn)是棱上不同于， 的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)， ， ， ．

（Ⅰ）求證： ∥平面；

（Ⅱ）求證： 平面；

（Ⅲ）若二面角為，求的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的性質(zhì)定理和菱形的對角線相互垂直得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（Ⅲ）利用空間向量進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)樵谌�棱�?/span>中，平面平面，

平面平面，

平面平面，

所以 .

又因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面.

所以 .

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以 .

所以平面.

（Ⅲ）取線段中點(diǎn)，因?yàn)榱庑?/span>中， ，

所以 .

又因?yàn)?/span> ，所以 .

又因?yàn)?/span>平面.

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則

所以， ， ， .

設(shè)，（ ）

，

設(shè)平面的法向量為，

則， 即，

令，則， .

所以.

由（Ⅱ）知， 是平面的一個(gè)法向量.則

因?yàn)槎�面�?/span>為，

.

解得，或（舍）.

所以，即的長為.