Question

已知函數(shù)f(x)＝ax－－2lnx．(a∈R)

(1)若a＝2，求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)若a＞0且函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，3)存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若， 　　　1分 　　直線斜率＝2，切點(diǎn)為(1，0) 　　所以曲線在點(diǎn)處的切線方程：　3分 　　(2)，　4分 　　∵在定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴在內(nèi)恒成立 　　即在上恒成立　5分 　　(法一)即在上恒成立 　　∴，設(shè)　6分 　　則 　　∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)　7分 　　∴，即，∴ 　　所以實(shí)數(shù)的取值范圍是　8分 　　(法二)令， 　　∵在定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴在內(nèi)恒成立．　6分 　　由題意，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線， 　　對(duì)稱(chēng)軸方程為，∴，　7分 　　∴， 　　解得 　　∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．　8分 　　(3)(法一)∵，令即　9分 　　設(shè) 　　當(dāng)時(shí)，方程()的解為，此時(shí)在無(wú)極值， 　　所以； 　　當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸方程為 　　①若在恰好有一個(gè)極值 　　則，解得 　　此時(shí)在存在一個(gè)極大值；　11分 　�、谌�在恰好兩個(gè)極值，即在有兩個(gè)不等實(shí)根 　　則或，解得　13分 　　綜上所述，當(dāng)時(shí)，在存在極值．　14分 　　(法二)∵，令即 　　由得　9分 　　令 　　 　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．　11分 　　∵ 　　∴　12分 　　又∵時(shí)，在上恒成立 　　∴不滿足條件， 　　∴當(dāng)時(shí)，在存在極值．　14分 　　(注：其它解法給相應(yīng)分?jǐn)?shù))