Question

定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，當(dāng)x∈[0，），f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，2）
分析：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式變?yōu)槿�角不等式，再由三角函�?shù)的有界性求參數(shù)m的范圍，本題中為了利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式需要根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0變?yōu)閒（sin²x-msinx+m）＞f（2），利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化，即可求得結(jié)果．
解答：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)又是減函數(shù)，
f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立?不等式f（sin²x-msinx+m）＞f（2）恒成立
?不等式sin²x-msinx+m＜2恒成立
?m（1-sinx）＜2-sin²x恒成立，
∵x∈[0，），
∴m＜恒成立，
記g（x）=，x∈[0，），令t=sinx，則t∈[0，1）
∴g（t）=，g′（t）=＞0，
∴g（t）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（0）=2
∴m＜2
故答案為：（-∞，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查綜合利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性研究不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，本題利用函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，本題中轉(zhuǎn)化后求最值要注意三角函數(shù)的有界性，求解本題時(shí)兩次利用轉(zhuǎn)化的思想，第一次是將不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式，第二次是將三角不等式轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值，解題時(shí)要注意理解、領(lǐng)會(huì)本題中的轉(zhuǎn)化策略及理論依據(jù)，屬中檔題．