Question

22、已知數(shù)列{a_n}滿足a₂=2，（n-1）a_n+1-na_n+1=0（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析：本題考察的知識點(diǎn)是數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法．由（n-1）a_n+1-na_n+1=0，a₂=2，我們要以依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，分析規(guī)律后，可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，但歸納推理的結(jié)論不一定正確，故我們可以用數(shù)學(xué)歸納法，對歸納推理的結(jié)論再進(jìn)行證明．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
a₁=1，可得a₃=3，猜想a_n=n．
證明如下：
當(dāng)n=1，2時(shí)，猜想成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，遞推式為（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0
故當(dāng)n=k+1時(shí)，（k-1）a_k+1-ka_k+1=0
即（k-1）a_k+1-k²+1=0
∵k≥2，
∴k-1≠0，
∵a_k+1=k+1，即n=k+1時(shí)猜想成立
∴n∈N^*有a_n=n

點(diǎn)評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們要利用數(shù)學(xué)歸納法等方法對歸納的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的論證．