Question

若方程xlg（x+2）=1的實(shí)根在區(qū)間（k，k+1）（k∈z）上，則 k=（ ）
A．-2
B．1
C．-2或1
D．0

Answer 1

【答案】分析：依據(jù)方程的根與零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)證明，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlg（x+2）-1，由零點(diǎn)的存在性定理驗(yàn)證．
解答：解：由于方程xlg（x+2）=1即方程lg（x+2）=，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象，
從圖象上可得出：方程xlg（x+2）=1在區(qū)間（-2，-1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根．
下面證明：方程xlg（x+2）=1在區(qū)間（-2，-1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根?函數(shù)f（x）=xlg（x+2）-1，在區(qū)間（-2，-1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)
函數(shù)f（x）=xlg（x+2）-1在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，
又f（1）=lg3-1＜0，f（2）=2lg4-1＞0，
即f（1）×f（2）＜0
由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)f（x）=xlg（x+2）-1在區(qū)間（1，2）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)
即方程xlg（x+2）=1在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，
同理得方程xlg（x+2）=1在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：考查方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，零點(diǎn)的存在性定理是判斷零點(diǎn)存在與否的重要工具．