Question

國際上鉆石的重量計量單位為克拉，已知某種鉆石的價值v（美元）與其重量w（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
（I）寫出v關(guān)于w的函數(shù)關(guān)系式；
（II）若把一顆鉆石切割成重量比為1：x（x≥1）的兩顆鉆石，價值損失的百分率為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（III）試證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1：1切割，價值損失的百分率最大．
（注：價值損失的百分率=

原有價值-現(xiàn)有價值

原有價值

×100%，在切割過程中的重量損耗忽略不計）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由題意可設(shè)價值與重量的關(guān)系式為：y=kx²，再根據(jù)3克拉的價值是54000美元求得k值，即可求得此鉆石的價值與重量的函數(shù)關(guān)系式；
（II）先求按重量比為1：x切割后的價值，可得價值損失，利用價值損失的百分率=

原有價值-現(xiàn)有價值

原有價值

×100%，可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（III）利用基本不等式，可證結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：依題意設(shè)v=kw²，又當(dāng)w=3時，v=54000，∴k=6000，故v=kw²=6000w²（w＞0）；
（II）解：設(shè)這顆鉆石的重量為a克拉，則按重量比為1：x切割后的價值為6000（

1

1+x

a）²+6000（

x

1+x

a）²，
價值損失為6000a²-[6000（

1

1+x

a）²+6000（

x

1+x

a）²]
∴價值損失的百分率為y={6000a2-[6000（

1

1+x

a）²+6000（

x

1+x

a）²]}÷6000a2×100%=

2x

(1+x)2

∴y=

2x

(1+x)2

（x≥1）；
（III）證明：由（II）y=

2x

(1+x)2

=

2

1 x +2+x

∵x≥1，∴

1

x

+x≥2
∴

2

1 x +2+x

≤

1

2

，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=1時成立，此時y有最大值

1

2

．
故當(dāng)重量比為1：1時，價值損失的百分率達(dá)到最大．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，考查基本不等式求最值，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．