Question

（幾何證明選講選做題）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF=12，PD=，則∠EFD=    ，線段FD的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，首先根據(jù)切割線定理計(jì)算出PE的長，再進(jìn)一步計(jì)算出OP的長和圓的半徑的長；從而在直角三角形OPD中，根據(jù)邊之間的關(guān)系求得角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行計(jì)算要求的角．
解答：解：連接DO，
∵PD為切線，PEF為割線，
∴由切割線定理得到PD²=PE•PF；

∵PD=4 ，PF=12，
∴PE==4，
∴EF=PF-PE=8，EO=4；
∵PD為切線，D為切點(diǎn)，
∴OD⊥PD；
∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，
∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，
∵OD=OF，∠DOP為∠DOF的外角，
∴∠EFD=∠DOP=30°．
在三角形DOF中FD=2=
故答案為：30°；4
點(diǎn)評：本題主要考查圓的切線的性質(zhì)定理，考查與圓有關(guān)的比例線段，考查直角三角形中有關(guān)的三角函數(shù)的知識(shí)，本題解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平面幾何中有關(guān)的定理定義和性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題．