Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²＝2x相交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求證：“如果直線l過(guò)點(diǎn)T(3，0)．那么·＝3”是真命題；

(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)證明：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB兩點(diǎn)坐標(biāo)為(3，)，(3，－)則·＝9－6＝3，滿足題意， 　�、诋�(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 　　y＝k(x－3)與y2＝2x聯(lián)立， 　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2) 　　得k2x2－6k2x＋9k2＝2x， 　　k2x2－(6k2＋2)x＋9k2＝0，x1＋x2－·x1x2＝9， 　　y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]，·＝x1x2＋y1y2＝9＋k2[9－3·＋9]＝3， 　　綜合上述此命題為真命題． 　　(2)解：原命題的逆命題為如果·＝3，則直線l過(guò)T(3，0)， 　�、偌僭O(shè)AB直線的斜率不存在，則A(x1，y1)，B(x2，y2) 　　則x1＝x2，x1＝，x2＝，由·＝3可知，x1x2＋y1y2＝＝＝3， 　　即x12－2x1－3＝0，x1＝3或x1＝－1(舍)， 　　所以直線過(guò)(3，0)． 　�、贏、B的斜率存在時(shí)，則有A(，y1)B(，y2) 　　由·＝3得＋y1y2＝3，(y1y2)2＋4y1y2－12＝0，y1y2＝－6或y1y2＝2． 　　AB的直線方程為y－y1＝(x－x1)， 　　即y－y1＝(x－x1)． 　　與x軸交點(diǎn)為x0＝＋x1 　　＝＋x1 　�。�＝3或x0＝＝－1． 　　所以交點(diǎn)為(3，0)或(－1，0) 　　即逆命題為假命題．