Question

已知函數(shù)（），且.

（Ⅰ）試用含有的式子表示，并求的極值；

（Ⅱ）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)（其中），使得點(diǎn)處的切線，則稱存在“伴隨切線”. 特別地，當(dāng)時，又稱存在“中值伴隨切線”. 試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出、的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?sub>，

，，.          ……………2分

代入，得.

       當(dāng)時，，由，得，

又，，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，由，得，……………4分

又，，即在上單調(diào)遞減.

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.                  

所以，當(dāng)時，的極大值為  ………………6分

（Ⅱ）在函數(shù)的圖象上不存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”.

假設(shè)存在兩點(diǎn)，，不妨設(shè)，則

，，

，

在函數(shù)圖象處的切線斜率

，

       由

       化簡得：，.

       令，則，上式化為：，即，

       若令，

，

由，，在在上單調(diào)遞增，.

這表明在內(nèi)不存在，使得=2.

綜上所述，在函數(shù)上不存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”. ……………13分