Question

（2013•長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C、M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．
（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球的表面積的大��；
（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖，利用平面幾何知識(shí)求得球的半徑與AC長(zhǎng)，再利用面積公式與體積公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）連接OM，則OM⊥AB

設(shè)OM=r，OB=

3

-r，在△BMO中，sin∠ABC=

r

3 -r

=

1

2

?r=

3

3

∴S=4πr²=

4

3

π．
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，∴AC=1．
∴V=V_圓錐-V_球=

1

3

π×AC²×BC-

4

3

πr³=

1

3

π×

3

-

4

3

π×

3

9

=

5 3

27

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積的計(jì)算．S_球=4πr²；V_圓錐=

1

3

πr³．