Question

二次函數(shù)y=f（x）滿足：①f（0）=1；②f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）設(shè)g（x）=f（x-a），求g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)f（x）=y=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1可求c，再由f（x+1）-f（x）=2x可求a，b的值，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）
（2）由，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可求函數(shù)的最值
（3）由g（x）=f（x-a）=x²-（2a+1）x+a²+a+1，x∈[-1，1]，對(duì)稱軸為：，故需要考慮對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，從而可討論①當(dāng)；②當(dāng)時(shí)分別進(jìn)行求解
解答：解：（1）設(shè)f（x）=y=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
由f（0）=1得，c=1（2分）
因?yàn)閒（x+1）-f（x）=2x
所以a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
即2ax+a+b=2x（4分）
所以
所以f（x）=x²-x+1（16分）
（2）∵
當(dāng)時(shí)，，（8分）
當(dāng)x=-1時(shí)，y_max=3．（10分）
（3）∵g（x）=f（x-a）=x²-（2a+1）x+a²+a+1，x∈[-1，1]
對(duì)稱軸為：
①當(dāng)時(shí)，即：；如圖：
g（x）_max=g（-1）=a²+3a+3（13分）
②當(dāng)時(shí)，即：；如圖：
g（x）_max=g（1）=a²-a+1（15分）
綜上所述：（16分）
（注：分四種情況討論的每種（1分），總結(jié)論2分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由二次函數(shù)的性質(zhì)求解二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用，而討論的根本思想在于判斷二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系．