Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b²+c²=a²-bc，
（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（Ⅱ）若b+c=2，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，求線段AE長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

解：（I）∵b²+c²=a²-bc，∴a²=b²+c²+bc，
結(jié)合余弦定理知cosA===-，
又A∈（0，π），∴A=
∴B+C=
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin=；
（II）根據(jù)題意知=（+）
∴²=（²+²+2•）
∴=[c²+b²+2bc×（-）]=[（c+b）²-3bc]=（4-3bc）
∵≤=1
∴bc≤1（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)等號(hào)成立）
∴（²）_min=（4-3）=
∴|^|_min=
分析：（I）根據(jù)余弦定理表示出cosA，把已知得等式變形后代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后把所求的式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將sinA的值代入即可求出值；
（II）首先根據(jù)條件得出=（+）進(jìn)而得出=（4-3bc），然后根據(jù)均值不等式得出bc≤1，即可求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．