Question

【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)與的定義域都是.

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）求證：函數(shù)只有一個零點，且；

（3）用表示，的最小值，設(shè)，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明（3）

【解析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在點處的切線方程為.（2）先計算得，所以存在零點，且.再證明在上是減函數(shù)，即得證函數(shù)只有一個零點，且.(3)由題得，

在為增函數(shù)在，恒成立，即在區(qū)間上恒成立. 設(shè)，只需證明，再利導數(shù)求得的最小值，.

（1）∵，

∴切線的斜率，.

∴函數(shù)在點處的切線方程為.

（2）證明：∵，，

∴，，，

∴存在零點，且.

∵，

∴當時，；

當時，由得

.

∴在上是減函數(shù).

∴若，，，則.

∴函數(shù)只有一個零點，且.

（3）解：，故，

∵函數(shù)只有一個零點，

∴，即.

∴.

∴在為增函數(shù)在，恒成立.

當時，即在區(qū)間上恒成立.

設(shè)，只需，

，在單調(diào)減，在單調(diào)增.

的最小值，.

當時，，由上述得，則在恒成立.

綜上述，實數(shù)的取值范圍是.