Question

已知函數(shù)，m，a，b∈R．
（Ⅰ）當m=1時，若函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，求的最小值；
（Ⅱ）當a=1，時，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由m=1，我們可以求出函數(shù)f（x）及f'（x）的解析式（含參數(shù)a，b），由函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，f'（x）≥0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)恒成立的條件，可得a²+b²≤1，進而求出的最小值；
（Ⅱ）由已知中a=1，，我們易求出函數(shù)f（x）及導函數(shù)f′（x）的解析式，分別討論m＜0，m=0，m＞0三種情況下m的取值范圍，綜合討論結果即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=mx²+2ax+（1-b²）．    
因為函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
則有△=4a²-4（1-b²）≤0，即a²+b²≤1．
設（θ為參數(shù)，0≤r≤1），
則
當，且r=1時，取得最小值-2．
（Ⅱ）當a=1，時，
f'（x）=mx²+2x-2
①當m＞0時，f'（x）=mx²+2x-2是開口向上的拋物線，
顯然f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使得f'（x）＞0，所以m的取值范圍是（0，+∞）．
②當m=0時，顯然成立．
③當m＜0時，f'（x）=mx²+2x-2是開口向下的拋物線，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f'（x）＞0，
應滿足  或
解得．
則m的取值范圍是．
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中（I）的關鍵是得到滿足條件時a²+b²≤1，（II）的關鍵是求出f'（x）=mx²+2x-2，將問題轉化為二次函數(shù)問題．