Question

設(shè)集合A_（p，q）={x∈R|x²+px+q=0}，當(dāng)實(shí)數(shù)p，q取遍[-1，1]的所有值時，所有集合A_{（p，q）}的并集為

[-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

]

．

Answer 1

分析：由x²+px+q=0，知x₁=（-p+

p2-4q

2

），x₂=（-p-

p2-4q

2

），由此能求出所有集合A_（p，q）的并集．

解答：解：∵x²+px+q=0，
∴x₁=（-p+

p2-4q

2

），x₂=（-p-

p2-4q

2

），
即-p盡可能大

p2-4q

也是盡可能大時，x最大，
視p為常數(shù)  則q=-1時
p²-4q最大值為4+p²，
即（x₁）_max=

-p+ p2+4

2

，①
p=-1時（x₁）_max=

1+ 5

2

，
即x_max=x₁=

1+ 5

2

，
同理當(dāng)x₂取最小值是集合最小，
即x₂中-q最小且-

p2-4q

最小，
即（x₂）_min=-（p+

p2-4q

2

）中（p+

p2

-4q）最大
由①得
（p+

p2-4q

）最大值為1+

5

，
即x_min=-

1+ 5

2

，
∴所有集合A_{（p，q）}的并集為[-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

]．
故答案為：[-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

]．

點(diǎn)評：本題考查集合的并集及其運(yùn)算的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意換法的合理運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)亟柚�三角函�?shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．