Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）證明平面PAB⊥平面PCB，只需證明平面PCB內(nèi)的直線BC，垂直平面PAB內(nèi)的兩條相交直線PA，AB，即可證明BC⊥平面PAB，就證明了平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）證明平面EAC外的直線PD，平行平面EAC內(nèi)的直線EM，即可證明PD∥平面EAC；
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中點N，連接AN，在平面PBC內(nèi)，過N作NH⊥直線CE于H，連接AH，．說明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角，解Rt△AHN，求二面角A-EC-P的大小．
法二：（Ⅱ）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系，通過向量計算，說明，從而證明PD∥EM．PD?平面EAC，EM?平面EAC，PD∥平面EAC．
（Ⅲ）求出平面EAC的一個法向量，平面EBC的一個法向量，利用，求二面角A-EC-P的大小．
解答：證明：
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．（2分）
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，

∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．
又∵PC⊥AD，
∴AC⊥AD．（5分）
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得，
∴．
又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形．
∴．
連接BD，交AC于點M，則．（7分）
在△BPD中，，
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中點N，連接AN，則AN⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，

∴AN⊥平面PBC．
在平面PBC內(nèi)，過N作NH⊥直線CE于H，連接AH，由于NH是AH在平面CEB內(nèi)的射影，故AH⊥CE．
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角．（12分）
在Rt△PBC中，設(shè)CB=a，則，，，，
由NH⊥CE，EB⊥CB可知：△NEH∽△CEB，
∴．
代入解得：．
在Rt△AHN中，，∴（13分）
即二面角A-CE-P的大小為．（14分）
解法二：
（Ⅱ）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系．

設(shè)PA=AB=BC=a，則A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），．（5分）
設(shè)D（a，y，0），則，∵CP⊥AD，
∴，解得：y=-a．∴DC=2AB．
連接BD，交AC于點M，
則．（7分）
在△BPD中，，
∴PD∥EM．
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）設(shè)=（x，y，1）為平面EAC的一個法向量，則
∴
解得：，∴．（11分）
設(shè)=（x'，y'，1）為平面EBC的一個法向量，則，
又，，∴
解得：x'=0，y'=1，∴=（0，1，1）．（12分）（13分）
∴二面角A-CE-P的大小為．（14分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．