分析 (1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連結(jié)EO,推導(dǎo)出EO∥PB,由此能證明PB∥平面AEC.
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H,連結(jié)HD,推導(dǎo)出∠AHD是二面角A-PB-D的平面角,由此能求出二面角A-PB-D的正切值.
解答 證明:(1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連結(jié)EO,
∵底面ABCD是矩形,∴O是BD的中點(diǎn),
又∵E為PD的中點(diǎn),∴EO∥PB,
∵EO?平面AEC,PB?平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
解:(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H,連結(jié)HD,
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,
在矩形ABCD中,AD⊥AB,
∵AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,∴BP⊥HD,
由AH⊥PB,HD⊥BP,知∠AHD是二面角A-PB-D的平面角,
∵三棱錐P-ABD的體積V=√34,
∴VP−ABD=13×12×PA×AB×AD=√34,∴√36AB=√34,
∴AB=32,∴BP=√AB2+AP2=√(32)2+12=√132,
∵AB×AP=BP×AH,∴32=√132AH,解得AH=3√1313,
∴tan∠AHD=ADAH=√33√1313=√393,
∴二面角A-PB-D的正切值為√393.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的正切值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.
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A. | \frac{π}{3} | B. | \frac{π}{6} | C. | \frac{π}{3}或\frac{2π}{3} | D. | \frac{π}{6}或\frac{5π}{6} |
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A. | \frac{\sqrt{10}}{10} | B. | \frac{1}{5} | C. | \frac{3\sqrt{10}}{10} | D. | \frac{3}{5} |
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A. | -2 | B. | 0 | C. | -\sqrt{3} | D. | -1 |
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