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4.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)AP=1,AD=3,三棱錐P-ABD的體積V=34,求二面角A-PB-D的正切值.

分析 (1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連結(jié)EO,推導(dǎo)出EO∥PB,由此能證明PB∥平面AEC.
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H,連結(jié)HD,推導(dǎo)出∠AHD是二面角A-PB-D的平面角,由此能求出二面角A-PB-D的正切值.

解答 證明:(1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連結(jié)EO,
∵底面ABCD是矩形,∴O是BD的中點(diǎn),
又∵E為PD的中點(diǎn),∴EO∥PB,
∵EO?平面AEC,PB?平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
解:(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H,連結(jié)HD,
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,
在矩形ABCD中,AD⊥AB,
∵AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,∴BP⊥HD,
由AH⊥PB,HD⊥BP,知∠AHD是二面角A-PB-D的平面角,
∵三棱錐P-ABD的體積V=34,
VPABD=13×12×PA×AB×AD=34,∴36AB=34,
∴AB=32,∴BP=AB2+AP2=322+12=132,
∵AB×AP=BP×AH,∴32=132AH,解得AH=31313,
∴tanAHD=ADAH=331313=393
∴二面角A-PB-D的正切值為393

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的正切值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.

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