Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=a_n-2n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n與n²+2011n的大小．

Answer 1

分析：對(duì)于（1）需要對(duì)數(shù)列遞推式a_n+1=3a_n-4n+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為等差或者等比數(shù)列的形式進(jìn)行解答，針對(duì)b_n=a_n-2n的形式設(shè)計(jì)，可以兩邊減去2n，于是湊出形式a_n-2n，即：a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），于是得到一個(gè)等比數(shù)列{a_n-2n}，很好的完成了轉(zhuǎn)化．
（2）的解答需要利用（1）的結(jié)論，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出其前n項(xiàng)的和，再利用作差的思想S_n-（n²+2011n）化成函數(shù)（自變量是正整數(shù)n）的問(wèn)題進(jìn)行討論即可．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得

an+1-2(n+1)

an-2n

=3，
所以，數(shù)列{a_n-2n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
所以，b_n=3ⁿ．
（2）a_n-2n=3ⁿ?a_n=2n+3ⁿ，Sn=

3

2

(3n-1)+n(n+1)，Sn-(n2+2011n)=

3

2

(3n-1)-2010n=

3

2

(3n-1340n-1)．
設(shè)c_n=3ⁿ-1340n-1，
由于c_n+1-c_n=2•3ⁿ-1340
當(dāng)n＜6時(shí)，c_n+1＜c_n
當(dāng)n≥6時(shí)，c_n+1＞c_n
即，當(dāng)n＜6時(shí)，數(shù)列{c_n}是遞減數(shù)列，當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列
又c₁=-4018＜0，c₈=-4160＜0，c₉=7622＞0
所以，當(dāng)n≤8時(shí)，S_n＜n²+2011n；
所以，當(dāng)n＞8時(shí)，S_n＞n²+2011n．

點(diǎn)評(píng)：本題很好的考查了數(shù)列的知識(shí)，有深度，一定的綜合度，對(duì)數(shù)列的遞推公式考查既基本又有一定的難度，技巧，符合數(shù)列知識(shí)的教學(xué)目標(biāo)，總之本題綜合考查等差等比數(shù)列的內(nèi)容及其轉(zhuǎn)化問(wèn)題，同時(shí)又綜合考查了函數(shù)的知識(shí)，分類討論的思想的應(yīng)用．