Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx（a∈R且a≠0）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上的零點個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，e）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上的零點個數(shù)，先要研究函數(shù)在（，e）上的單調(diào)性，然后求出端點的函數(shù)值和極值，判定符號，根據(jù)根的存在性定理可判定；
（ II）欲使函數(shù)f（x）在（1，e）上是單調(diào)函數(shù)，只需極值點不在區(qū)間（1，e）上即可．
解答：解：（I）當(dāng)a=2時，f（x）=2x²-3x-lnx
f'（x）=4x-3-=
∴當(dāng)x∈（，1）時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e）時，f'（x）＞0
即f（x）在（，1）上遞減，在（1，e）上遞增，
∵f（1）=-1＜0，f（）=＞0，f（e）=2e²-3e-1＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上有兩個零點
（ II）∵a≠0
∴f'（x）=0的根是…（8分）
當(dāng)時，f'（x）在（1，e）上恒大于0，或者恒小于0，
∴函數(shù)f（x）在（1，e）上單調(diào)，
故a＞0 或…（11分）
當(dāng)時，若函數(shù)f（x）在（1，e）上單調(diào)，則，故，…（14分）
綜上或或a＞0．…．…（15分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和根的存在性定理，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于中檔題．