Question

已知f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線6x+y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在t∈N^*，使得方程在區(qū)間（t，t+1）內有兩個不等的實數根？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數小于0的解集，設出解析式，利用導數求得f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率，結合切線與直線6x+y+1=0平行時斜率相等，列出方程，解出待定系數．
（2）將方程等價轉化h（x）=2x³-10x²+37=0，利用h（x）的導數判斷其單調性，利用單調性判斷h（x）=0的根的情況．
解答：解：（1）∵f（x）是二次函數，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可設f（x）=ax（x-5）=ax²-5ax，（a＞0）．
∴f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率是：f′（1）=-3a=-6．
∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）方程=0等價于方程 2x³-10x²+37=0．
設h（x）=2x³-10x²+37，則h'（x）=6x²-20x=2x（3x-10）．
在區(qū)間x∈（0，）時，h'（x）＜0，h（x）是減函數；
在區(qū)間（-∞，0），或（，+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函數，故h（0）是極大值，h（）是極小值．
∵h（3）=1＞0，h（）=-＜0，h（4）=5＞0，
∴方程h（x）=0在區(qū)間（3，），（，4）內分別有惟一實數根，故函數h（x）在（3，4）內有2個零點．
而在區(qū)間（0，3），（4，+∞）內沒有零點，在（-∞，0）上有唯一的零點．
畫出函數h（x）的單調性和零點情況的簡圖，如圖所示．
所以存在惟一的正整數t=3，使得方程f（x）+=0在區(qū)間（t，t+1）內有且只有兩個不同的實數根．
點評：本小題主要考查函數的單調性、極值等基本知識，考查運用導數研究函數的性質的方法，考查函數與方程、數形結合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力．