(2006安徽,22)如圖所示,F為雙曲線的右焦點(diǎn),P為雙曲線C右支上一點(diǎn),且位于x軸上方,M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知四邊形OFPM為平行四邊形,
.
(1)寫出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式;
(2)當(dāng)λ=1時(shí),經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn),若|AB|=12,求此時(shí)的雙曲線方程.
解析:(1)設(shè) ∵
∴ (2)當(dāng)λ=1時(shí),由 從而c=2a, 由此得雙曲線的方程是 下面確定a的值. 設(shè)雙曲線左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為N,P點(diǎn)的坐標(biāo)為
由于
所以直線OP的斜率為 設(shè)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線與雙曲線的交點(diǎn)為 將其代入雙曲線方程整理得
∵
由|AB|=12得a=1.于是,所求雙曲線的方程為 |
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