Question

已知函數(shù)f（x）=2^x的定義域是[0，3]，設(shè)g（x）=f（2x）-f（x+2）．
（1）求g（x）的解析式及定義域；
（2）求函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=2^x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2．因?yàn)閒（x）的定義域是[0，3]，所以

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，由此能求出g（x）的定義域．
（2）設(shè)g（x）=（2^x）²-4×2^x=（2^x-2）²-4．由2^x∈[1，2]，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=2^x，
∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2．（3'）
因?yàn)閒（x）的定義域是[0，3]，
所以

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，
解之得0≤x≤1．
于是 g（x）的定義域?yàn)閧x|0≤x≤1}．（或?qū)懗蒣0，1]，否則扣1分）（6'）
（2）設(shè)g（x）=（2^x）²-4×2^x
=（2^x-2）²-4．（8'）
∵x∈[0，1]，
即2^x∈[1，2]，
∴當(dāng)2^x=2即x=1時(shí)，
g（x）取得最小值-4；（10'）
當(dāng)2^x=1即x=0時(shí)，
g（x）取得最大值-3．（12'）

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．